函数有界的定义

一个函数 f(x) 在定义域 d 上有界，当且仅当存在实数 m 和 m，使得对于 d 中的所有 x，都有 m ≤ f(x) ≤ m。

函数有界的定义

定义：

一个函数 f(x) 在定义域 D 上有界，当且仅当存在两个实数 M 和 m，使得对于 D 中的所有 x，都有：

m ≤ f(x) ≤ M

其中：

• M 是函数 f(x) 的上界，即所有函数值的上限。
• m 是函数 f(x) 的下界，即所有函数值的下限。

等价条件：

函数 f(x) 在定义域 D 上有界的等价条件如下：

• 存在实数 M，使得 |f(x)| ≤ M，对于 D 中的所有 x。
• 存在正实数 M，使得 -M ≤ f(x) ≤ M，对于 D 中的所有 x。

推论：

有界函数满足以下性质：

• 如果 f(x) 和 g(x) 都有界，那么 f(x) + g(x) 也一定有界。
• 如果 f(x) 有界，且 c 是常数，那么 cf(x) 也一定有界。
• 一个有界的函数一定是一个连续函数。