函数单调性的求法和步骤

函数单调性的求法涉及以下步骤：求导数并确定导数的正负性，正则单调递增，负则单调递减。根据导数的正负性划分单调区间。在导数为零的点求二阶导数，大于零则为极小值点，小于零则为极大值点。利用单调性和极值点绘制函数图像。

函数单调性的求法和步骤

函数单调性的求法主要涉及以下步骤：

1. 求导数

求出函数的一阶导数，记为 f'(x)。

2. 确定导数的正负性

• 如果 f'(x) > 0，则函数在 x 处单调递增。
• 如果 f'(x)
• 如果 f'(x) = 0，则函数在 x 处可能有极值，需要进一步分析。

3. 确定单调区间

根据导数的正负性，将 x 轴划分为若干个区间。对于每个区间，函数的单调性保持一致。

4. 确定极值点

在 f'(x) = 0 的点处，求出函数的二阶导数 f”(x)。

• 如果 f”(x) > 0，则该点是极小值点。
• 如果 f”(x)

5. 绘制函数图像

利用函数的单调性和极值点，可以绘制出函数图像，清楚地显示函数的变化趋势。

例题：求函数 f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 的单调性。

解：

1. 求导数：f'(x) = 3x^2 – 6x

2. 确定导数的正负性：

   • 当 x
   • 当 x > 0 时，f'(x) > 0，函数单调递增。
3. 确定单调区间：(-∞, 0) 单调递减，(0, ∞) 单调递增。
4. 确定极值点：在 x = 0 处，f'(x) = 0，f”(x) = 6 > 0，因此 x = 0 处有极小值。