反函数和原函数的关系

反函数是函数的特殊类型，它反转了原函数的输入和输出，且与原函数的图像关于 y = x 线对称。其性质包括：f(x) 必须单调可逆；反函数 f^-1(x) 也单调可逆；原反函数图像关于 y = x 线对称；复合运算 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。求反函数的方法为：交换 x 和 y；求解 y 关于 x；将 y 替换为 x。

反函数和原函数的关系

反函数是函数的一种特殊类型，它反转了原函数的输入和输出。换句话说，反函数对于原函数的图像与关于 y = x 线对称。

定义

如果 f(x) 是一个单调可逆的函数，那么其反函数 f^-1(x) 定义为 f^-1(y) = x，其中 x 和 y 满足关系 f(x) = y。

性质

• 反函数存在的条件：f(x) 必须是单调可逆的。
• 一对应性：反函数 f^-1(x) 也是单调可逆的。
• 对称性：原函数 f(x) 的图像与反函数 f^-1(x) 的图像关于 y = x 线对称。
• 复合运算：如果 f(x) 和 f^-1(x) 是原函数和反函数，则 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

如何求反函数

1. 交换 x 和 y：将原函数中的 x 和 y 互换，得到 y = f(x)。
2. 求解 y 关于 x：将 y 解释为 f^-1(x)，并求解 x 关于 y 的表达式。
3. 替换 y 为 x：将步骤 2 中得到的 x 表达式中的 y 替换为 x。

举例

• f(x) = 2x + 1：反函数 f^-1(x) = (x – 1)/2
• f(x) = sin(x)：反函数 f^-1(x) = arcsin(x)
• f(x) = e^x：反函数 f^-1(x) = ln(x)